1960年《Science》论文算出世界将于2026年11月13日终结

2026年11月13日星期五：1960年的末日论文

1960年，科学家算出世界将在2026年11月13日星期五终结。不是预言，也不是小行星撞击。而是一条曲线。伊利诺伊大学的海因茨·冯·福斯特和两位同事回溯约两千年，取了24项世界人口估算，发现一个公式几乎能吻合所有数据。

把这个公式往后推，地球人口不只是继续增长。它会飙升到无穷大，日期就在今年11月。他们将论文发表在《Science》期刊上，题为"Doomsday: Friday,13 November, A.D. 2026"。我们显然还在，而且人数约80亿，不是无穷多个。

但人们常说这条曲线马上就失效了，这并不对。论文发表后30多年里，全球人口一直跑在曲线前面。最终让我们偏离它的，正是如今许多国家担心出生率下降的同一个原因。

一条冲向无穷大的曲线

事物常见的增长方式是指数增长，至少在一段时间内如此。培养皿里的细菌，或按固定利率生息的钱：每一步都在已有数量上增加同样的百分比。指数增长会变得极其庞大，但不会在某个特定日期达到无穷大。冯·福斯特的公式不同。

它是双曲型的：大致说，人口等于一个常数除以距离某个特定日期的剩余时间。那个日期越近，剩余时间越趋近于零，人口就会暴增。数学家把这叫作有限时间奇点。根据公式算倍增时间，它总是略多于剩余时间的一半。

所以1960年时，距离终点还有66年，公式预计人口会在约33年内翻一番。世界末日十年前，人口会在约五年内翻一番。末日前一年，则约六个月。把24份估算拟合起来，作者得到了三个数字。

一个1790亿的常数，0.99的指数，几乎正好等于1，以及2026.87这个末日日期，前后误差五年半。作者报告的典型拟合误差约为7%。换算成日历日期，2026.87落在11月中旬。11月13日星期五正好落在这段时间内，而传记记载冯·福斯特出生于1911年11月13日。

我们没找到他说明这是不是玩笑的说法。而且这个拟合日期上下本就有五年半的不确定性，所以11月13日从来不是精确期限。

为什么人口越多，增长越快

奇怪的地方在这里。在自然界，拥挤通常会让增长放缓。把果蝇放进牛奶瓶里，它们起初繁殖很快，食物和空间用尽后就会趋于平稳。论文正是用了这个例子。

生态学家称之为逻辑斯谛增长，这是思考人口上限时的自然起点。冯·福斯特团队的观点恰好相反。人和果蝇不同，人会互相交流。他们会形成论文所称的联盟，而足够大的联盟可以像一个单独的参与者，在与自然的博弈中行动。

所以人口越多不会放慢增长，反而会让增长加速。从数学上说，这就够了：如果人均增长率随人口成比例上升，就会得到一条在有限时间内达到无穷大的曲线。1993年，经济学家迈克尔·克雷默建立了一个形状相同的经济模型。他的模型围绕发明展开。

一个想法，比如更好的犁或疫苗，可以同时被所有人使用，却不会被用完。所以人越多，发明者越多，技术进步越快，更好的技术又让土地能养活更多人。这个循环让增长呈现双曲线式。克雷默在上一个冰河时代末期寻找检验办法。

海平面上升后，各地区被分隔开来，几千年间几乎没有联系。比较这些地区在1500年前后情况时，克雷默发现地区越大，技术往往越先进。最小的部分尤其引人注目。塔斯马尼亚与澳大利亚大陆隔绝后人口很少，按克雷默引用的考古证据，他们甚至失去了制作骨器的能力。

在很小的弗林德斯岛，海水将其隔开约四千年后，那里的人消失了。一个小而孤立的群体不只是增长缓慢。它甚至可能失去自己知道的东西。冯·福斯特团队并不是唯一看到这种加速的人。

同年秋天，生态学家爱德华·迪维在《Scientific American》发表了一张跨越百万年的人类数量图表；而早在1947年，法国的弗朗索瓦·迈耶就已提出历史本身正在加速。

玩笑还是警告？

那么这些人是谁？论文把三位作者都列在伊利诺伊大学电气工程系。他们从电气工程而非人口学角度研究人口。传记把冯·福斯特描述为来自维也纳的物理学家。

他编辑过梅西会议记录。控制论，也就是研究反馈与控制的学科，正是在这些战后会议上逐渐成形；1958年他又在伊利诺伊创建了生物计算机实验室。这种背景体现在论文中，他的幽默感也是如此。作者算出，如果查理曼大帝拥有他们的公式，就能把末日预测到误差300年以内；拿破仑的误差能缩小到30年以内；1960年的人则能缩小到约十年。

把曲线倒推，人口会在约2000亿年前降到一个人，也就是亚当，比当时人们认为的宇宙年龄还要早得多。他们还轻描淡写地带过了逃往太空的办法，指出没人能给那些旅客发返回地球的许可。但结论很严肃。他们写道，我们的玄孙不会饿死。

"他们会被挤死。"他们提出的解决方案完全是控制论思路：一个称为peoplo-stat的人口控制系统，也就是人类人口的恒温器。他们说，要让人口保持稳定，平均每个家庭得生略多于两个孩子。记住这个数字。

它还会再出现。

读者来信发起反击

论文发表于1960年11月4日，反响来得很快。《纽约时报》当天就报道了。12月，沃尔特·凯利的连环漫画《Pogo》连续三期谈到它。《Science》的读者来信版也很快被塞满。

布鲁克海文国家实验室的三位科学家认为，由于一次妊娠约270天，人口最快也不可能每九个月翻一番。按他们的计算，曲线会在末日前约一年、人口约1670亿时碰到这个限制并失效。他们称此为一线希望。数学家马文·申布罗特则不以为然。

他称这个结论"显然荒谬"，并指出人口以整数计，所以按世代建立的模型永远不会达到无穷大。最严肃的反对来自普林斯顿的人口学家安斯利·科尔。他写道，大多数人口学家都把这篇论文当成玩笑。接着他提出了真正的论证。

他认为，增长加快是因为死亡人数减少，而不是因为人们生了更多孩子。而在每个高度工业化国家，出生率都已经下降。作者逐一回应了这些批评。他们把申布罗特的反对命名为"申布罗特最后定理"，还在《Science》上刊登了一幅戈雅蚀刻版画，标题译作"他们将死于什么？

"他们对科尔说，靠推动工业化降低出生率就像用汽油灭火。他们还提出更深的一点。他们写道，在物理学中，奇点，如音障或气体击穿并导电的电压点，并不意味着某个东西会变成无穷大。这是一个有益的警告，说明系统即将崩溃。

末日不是所有人死亡的那天。而是某些东西必须发生变化的期限。1962年，他们把矛头指向联合国。十年内，联合国对2000年的人口预测从32亿升至62亿，作者嘲讽它几乎把估计翻了一倍。

他们自己的公式给出的数字是69亿。2000年的实际人数约为62亿。那个被他们嘲笑的预测，反而是最接近实际的。

末日进度超前

但批评者当时还不知道一件事。把公式同今天最好的估算对比，几十年来现实人口都在曲线之上，而不是之下。1960年时，实际人口已比公式预期多约2亿。差距继续扩大，到1976年约达4.5亿。

1975年，数学家詹姆斯·塞林写给《Science》一封俏皮的信，问末日是否按计划进行。他按公式算出人口为36.5亿，而人口参考局（Population Reference Bureau）的估计是39.7亿。他得出结论：末日已经稳稳提前了。塞林还写了一句个人感想：他会在2026年11月1日满100岁，他宁愿那一年永远不要到来。

他于2012年去世，距离百岁还差14年。1987年，曾师从冯·福斯特的斯图尔特·昂普尔比又寄给《Science》一封信，题为"World Population: Still Ahead of Schedule"。按他的计算，1980年世界人口比公式预测多约4.45亿。然后，两条线相交了。

1993年下半年某个时候，实际人口终于跌到曲线下方。此后公式一路狂飙，现实世界仍以较平缓的速度增长。到2000年，公式给出的数字约为70亿。到2020年，约为290亿。

而到2026年7月，公式给出的数字约为4790亿。

真正的转折发生在1963年

所以，如果人口一直领先到1993年，真正的转折发生在什么时候？答案在增长率上，不在总人口数上。公式要求增长率永远持续上升。现实中，全球增长率在1963年达到峰值，约为每年2.3%。

那是在论文发表三年后。此后它大多持续下降，如今低于1%。之后，其他峰值一个接一个出现，相隔数十年。每年新增人口数在1990年达到峰值，约9400万，因为人口基数已经大得多。

联合国统计显示，每年出生婴儿数在2012年前后达到峰值。15岁以下儿童人数在2020年前后达到峰值。那么总人口本身呢？联合国预计它将在2080年代中期达到峰值，约103亿。

这部分延迟有个名字：人口惯性。即使家庭规模缩小，已有的年轻人仍然很多，父母人数还会在数十年间继续增加。联合国估计，2024年至2054年预计增长中约79%来自这种惯性。

死亡减少，出生率随后下降

那么是什么让增长率曲线转而下弯？科尔1961年的答案后来被证明是对的。首先，儿童死亡大幅减少。1950年，全世界每1000名儿童中约有227人在五岁前死亡。

到2024年，这一数字约为36。随后，通常会隔一段时间，出生数下降。全世界平均每名女性生育数从1950年的近5个降至2024年的约2.25个。人口学家称这为人口转变，它在每个大洲都出现过，只是速度不同。

在孟加拉国，1975年女性平均生近7个孩子，如今刚超过2个。在伊朗，平均数从1980年的约6.5个降到2000年的约2个。在巴西，经济学家把Globo电视网的普及与更低生育率联系起来，其肥皂剧的大多数主要女性角色根本没有孩子。在孟加拉国马特拉布地区，1977年开始实行计划生育项目的村庄，近二十年间生育率都低于对照村庄。

而上学时间更长的女孩，往往结婚和生孩子都更晚。这些都不需要peoplo-stat。

恐惧的年代

但在20世纪60、70年代，人口增长仍引发了骇人的警告。1968年，生物学家保罗·埃利希的《The Population Bomb》开篇宣称，养活全人类的战斗已经失败，并警告几十年内会发生大规模饥荒。1972年，《The Limits to Growth》用计算机模型探讨，在有限的星球上增长继续下去会发生什么。一些政府因这种恐惧采取了伤害人的做法。

印度紧急状态期间，即1975年至1977年，进行了数百万例绝育手术，历史记载称其中许多是在压力下或被强迫进行。1980年前后，中国实施了一孩政策。但看看数字。政策开始前，中国的生育率已从1970年每名女性约6个孩子降至1979年不足3个。

与此同时，印度和巴基斯坦的小麦收成在20世纪60年代末因新的高产品种而跃升，这项工作为植物育种家诺曼·博洛格赢得1970年诺贝尔和平奖。1980年，埃利希与经济学家朱利安·西蒙打赌：扣除通胀后，未来十年一篮子五种金属会因稀缺而变得更贵。十年后，这篮子金属反而更便宜，埃利希付了赌金。后来的分析发现，在许多其他十年区间里，埃利希会赢。

选哪个十年，会决定谁看起来正确；用两千年估计值拟合出的曲线也是如此。

如今的出生率：作者的建议成真

还记得peoplo-stat吗？作者说，平均家庭只需略多于两个孩子。2024年，全球平均每名女性生育约2.25个孩子。那一年，约三分之二的人类生活在生育率低于2.1的国家，大致是儿童死亡很少时每代能够自我更替的水平。

1960年，这一比例约为4%。当中国在1991年前后、印度在2020年前后跌破这条线时，这个比例分阶段跃升。如今，东亚、欧洲、拉丁美洲和加勒比地区都出现了极低生育率。按联合国2024年的数据，波多黎各约为0.9，乌克兰低于1，智利约1.1，意大利和西班牙约1.2。

1960年，韩国女性平均生约6个孩子。2025年这个数字为0.80，尽管已连续两年回升，仍是全球最低水平之一。另一端，乍得和尼日尔仍约为6个。联合国称，到2024年，63个国家和地区的人口已经越过峰值，合计约占世界人口28%。

而担忧的方向反了过来。1968年，人们害怕人口炸弹。如今，在许多低生育率国家，警告的是人口减少和劳动力萎缩。两种恐惧其实都针对同一条曲线，只是看的是相反两面。

奇点去了哪里：经济学与AI

那么，整个想法错了吗？也不尽然。从长期看，这些估算确实显示人口越多，增长越快，这既符合联盟观点，也符合克雷默模型。变化在于，正当循环运行得最快时，人们开始选择更小的家庭。

1996年，俄罗斯物理学家谢尔盖·卡皮查在公式中加入一个约42年的时间尺度，重写了它。有了它，曲线不会撞向无穷大。它会弯曲，并在极长期内稳定在约140亿。2020年，经济学家大卫·鲁德曼用一个相关增长模型拟合了可追溯到公元前一万年的世界经济估算。

他的模型给出的经济爆发中位日期是2047年。他知道字面上的无穷大不可能，但认为这个结果不该被轻易搁置。和冯·福斯特一样，他把它看作系统不稳定的信号。如今，在人工智能的讨论中也会出现类似循环。

在克雷默的版本中，循环围绕人展开：人越多，想法越多，人也越多。出生率下降切断了这个循环。包括汤姆·戴维森在内的研究者问过，能够从事研究的AI能否不靠更多人让这个循环重新运转起来。还没有人知道。

但这正是那篇1960年论文提出的同一个问题：一个系统越大、增长越快，会发生什么？

11月13日会发生什么？

那么，11月13日星期五会发生什么？几乎可以肯定，什么都不会发生。联合国预计2026年7月约有83亿人，而不是公式给出的4790亿。它前后五年半的误差范围也救不了它，因为实际人口早在1993年就已偏离曲线。

但真正的启示在他们1961年回复中的一句话。他们写道，当时活着的30亿人，每个人很快都要作出决定。要么最多生两个孩子，继续做凡人；要么追求不朽，永远无子。65年后，人类中的大多数人已处在他们提出的水平或以下，没有任何公式命令他们这么做。

这条曲线没有预测世界末日。它测量了我们变化的速度，直到我们开始转向的那一刻。